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    课程简介

    这节课我们将学习反函数和幂函数,之前我们学习的指数函数、对数函数其实就是一对经典的反函数。通过本节课的学习,你将充分掌握反函数的五大基本性质,并能够熟练解决特殊的、非特殊的反函数问题。 而幂函数与反函数虽只有一字之差,但却是完全不同的两个概念。对这个新的基本函数,超级课堂将用最擅长的动画演示,带你们充分了解幂函数的图像规律、性质,并熟悉各类必考的题型。然后,考试还用怕吗?!

    视频列表
    • 1、反函数的概念
      2、 一个函数存在反函数的条件,就是定义域和值域符合一一对应。对于连续函数,体现为单调性
      3、 求反函数解析式的三步操作:反解、互换、写定义域。如果反解后出现不止一个式子,就要通过定义域来排除
    • 1、分段函数求反函数,要根据原函数的取值区间来分类讨论。要正确求出每段原函数的值域,作为相应的反函数的定义域,再去用相应的解析式反解$x$
      2、 复合函数$f[g(x)]$求反函数,反解时,先脱去外层函数$f$,再解出$x$的式子。反解后,按老套路进行互换和写定义域就OK了
    • 1、求组合根式型函数的反函数的关键是对解析式进行合理变形,再解$x$,常用的变形手段有三种
      2、 只有一个根式时,适合采用平方法
      3、 两个根式型函数相减,且系数相同时,适合采用分子有理化法
      4、 解析式包含两个根式且根号内存在共轭结构时,适合采用相应的乘法公式化简原函数
    • 1、性质一:若一组函数互为反函数,则定义域、值域互逆。故要求反函数定义域,就可以转而求原函数的值域;要求反函数的值域,就可以转而求原函数的定义域
      2、 性质二:若一组函数互为反函数,则自变量值和函数值互逆。它有三种应用:(1)判断点是否在函数图象上。 (2)求反函数的函数值。(3)建立原函数与反函数图象上特殊点的关系
      3、 推论:一个定义域内的变量,经过$f$与$f^{-1}$两种函数的对应后,结果依然是变量本身
    • 1、性质3:反函数的单调性与原函数的单调性相同。利用性质3,就能通过原函数的单调性得到反函数的单调性。要注意求反函数的定义域,因为在定义域内研究单调性才有意义。而知道反函数的单调性后,就能利用单调性来解不等式、求函数最值题目
      2、 性质4:如果一个奇函数有反函数,那么它的反函数也为奇函数。某些题目中,知道反函数是奇函数,就能帮助我们求值
    • 1、性质5告诉我们,图象关于$y=x$对称和互为反函数,可以相互推导。我们还需要记住一个结论,方程$log_{a}x=-x+c$和$a^{x}=-x+c$的所有根的和就是常数项$c$
      2、 性质5的推论1告诉我们,若原函数和反函数存在交点,则必于直线$y=x$有交点
      3、 推论2告诉我们,增函数和反函数的交点都在直线$y=x$上,但减函数则不一定,它还可能存在$y=x$之外的成对出现的对称的交点
    • 1、了解幂函数的定义,它的自变量在底数
      2、 掌握求幂函数解析式的常用方法,待定系数法,但注意不能代入原点和$(1,1)$
      3、 掌握幂函数的图象变化规律,记住它在$(0,+\infty)$内的的单调性只取决于指数$\alpha $的正负,正则增,负则减
    • 1、掌握幂函数奇偶性的判断方法,幂函数整体图象的分布规律和作任意一个幂函数大致图象的步骤
      2、 此外,还要学会反用这些规律,通过图象判断指数的范围
      3、 而这些内容的关键,都是要记住不同特征的指数,和相应图象的对应关系,唯有反复观看这两节课,才能牢记住这么多条对应关系
    • 1、第一类题型是通过图象比较指数大小。存在规律:第一象限中,交点$(1,1)$右侧,图象越高,指数越大;交点左侧,图象越低,指数越大
      2、 第二类题型是解与幂函数相关的不等式。也就是通过函数思想和数形结合思想,解不等式
      3、 ?第三类题型是比较幂值大小。通过所给指数式,构造合适的幂函数,通过图象判断对应函数值大小
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