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    课程简介

    这个章节我们将接触到复合函数,复合函数只是将复杂函数拆开观察的一种方式。由于它的结构可以变得很复杂,所以是函数相关考题的首选,也是你高考必须攻克的难关。超级课堂将带你认识复合函数的概念、图像的变换、求值以及定义域和值域的问题。此外,超级课堂还会传授你一次分式函数和求解析式的各种技巧,彻底征服复合函数。

    视频列表
    • 1、复合函数的定义,要弄清楚外层函数,内层函数,直接变量,中间变量,因变量这些概念
      2、 我们看待复合函数的方式,只是为了更好的研究它,其中中间变量是拆卸和组装复合函数的关键
      3、 注意“内层函数的函数值,是外层函数的自变量”,所以内层函数的值域与外层函数的定义域的交集必须非空
      4、 在做题时,可以用“换元法”的视角来求复合函数的解析式,将内层函数整体代入
    • 1、两种基本的图像变换—关于$y$轴的对称变换和$x$轴方向上的平移变换。前者很简单,只要把$x$变成$-x$就$OK$,后者要注意“孤立$x{}$",看它的变化,遵循左加右减的规律。当然你也可以使用公式
      2、 把这两种变换综合起来,可以采用两步走策略?!跋榷猿?,再平移”或“先平移,再对称”,两种方式异曲同工
      3、 图像变换,我们之后还会遇到更多与之相关的知识点??梢运岛乃行灾?,都可以结合图像进行分析,图像就相当于函数的人格另一面,更深刻形象地反应出其中蕴含的数学意义
    • 1、“括号同级原理”$f(a)$中的$a$和$f[g(a)]$中的$a$根本不是同一个$a$,根据“括号同级原理”,前者$a$相当于后者的$g(a)$$f[g(a)]$的求法,如果已知复合函数的解析式,就直接带入。如果给出外层和内层函数$f(x)$与$g(x)$各自的解析式。你就有两种选择:(1)、把复合函数组装起来,再代入。(2)、先代入内层函数求值,再代入外层函数求值。反过来,我们也能通过$f[g(a)]$的值,求$a$值,或者求未知参数
      2、 $f(a)$的两种基本求法:(1)解$x$代入法:通过$g(x)=a$解出$x$的值,再代入复合函数的解析式;(2)整体代入法:通过代数变形,把复合函数用内层函数的整体表示,直接带入求值
    • 1、“括号范围相同”这个重要的结论,围绕它主要有三种题型:已知$f(x)$的定义域,求$f[g(x)]$的定义域。已知$f[g(x)]$的定义域,求$f(x)$的定义域。已知$f[g(x)]$的定义域,求$f[h(x)]$的定义域。
      2、 抓住“括号范围相同”这个法则,就能在各种函数的定义域之间切换自由
    • 1、已知解析式,由内向外,逐层求值域。对于二次函数和反比例函数,最好配合图像分析值域。如果人为规定了定义域,也是按这个顺序算。反过来,规定了值域,也能由外向内求解集
      2、 若解析式未知,对于$f[g(x)]$与$f(x)$,若括号范围相同,即$g(x)$的值域和$x$的定义域相同,则$f[g(x)]$与$f(x)$的值域相同。若前者不同,后者的值域是不确定的,可能相同,也可能不同
    • 1、形如$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$叫做分式函数,其中$p(x)$、$q(x)$是既约整式且$q(x)$的次数不低于一次。其中形如$f(x)=\frac{(ax+b)}{(cx+d)}$的是一次分式函数。注意$c\neq 0$,且$ad\neq bc$
      2、 分子为常数的一次分式函数,可由反比例函数的图像横向平移得到;分子有自变量的一次分式函数,要用分离常数法把解析式恒等变形为常数分离的形式,再考虑横向和纵向的平移
      3、 分离常数法的经典步骤。第(1)步:分子分母系数化$1$。第(2)步:在分子中制造约分项。注意恒等变形。第(3)步:约分,分离常数
      4、 函数平移后对称中心的确定,由于“左加右减”,对称中心的横坐标要加负号。当解析式不是常数分离的形式时,要用分离常数法处理,才能找到对称中心。
    • 1、对于一般的一次分式函数,用分离常数法处理后,求出其对称中心,在反比例函数定义域和值域的基础上,用横坐标代替$0$,写出定义域;以纵坐标代替$0$,写出值域
      2、 对于人为规定了定义域的一次分式函数,有两种方法求值域。一种是通过平移,画出一次分式函数的图像,然后在图像上,直接根据定义域找值域,另一种是分层求值域,这种方法避免了平移画图的复杂性
      3、 一类特殊的高次分式函数,用换元法处理成一次的
    • 1、由复合函数$f[g(x)]$和内层函数$g(x)$的解析式,求$f(x)$解析式这类常见题型。主要有两种解法
      2、 换元法。令$t$等于内层函数,再把$x$也转化$t$的式子,最后换元,代入复合函数解析式,求出$f(t)$,即$f(x)$,注意不要忘记求出t的取值范围
      3、 配凑法。将复合函数的解析式凑配出含有内层函数结构的形式,从而直接将$g(x)$换为$x$,得到$f(x)$的解析式
      4、 括号同级原理,换元等量运算,和代数式恒等变形,这三块内容的综合运用
    • 1、题目告诉你函数类型时,就可以使用待定系数法,设出解析式
      2、 求系数的方法主要有三种:(1)、直接带入;(2)、求特殊函数值代入;(3)、利用恒等思想
    • 1、包括特殊值赋值法和内部赋值法两种,如果给了你特殊值,就用前者;如果内部的两个函数,内部赋值后恰好位置调换,就能用后者
      2、 求函数解析式的三大常用套路:换元法、待定系数法与赋值法。只要根据所给的条件去选择合适的套路
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